LECTURE CONTEMPORAINE DE LA PENSEE MATHEMATIQUE DE LEONARD DE VINCI....

METHODE

PRESENTATION SOUS FORME DE “’ NOTES “ parce que les " maths" sont un univers de discontinuités cohérentes... ( Comme l’ Art du Dessin) alors, formés d’ éléments qui ne sont
 quand meme - pas disjoints ! etrange ! LECTURE CONTEMPORAINE DE LA PENSEE MATHEMATIQUE DE LEONARD DE VINCI Qu’ il ne me lise pas celui qui n’ est pas mathematicien car je le suis dans tous mes principes, Léonard de Vinci TEXTE : PLAN puis CONTENU infra METHODE tel dessin ou telle peinture = tel theoremes...

PLAN nb les visuels et pages sont extraits de Léonard de Vinci, Peter Hohenstatt, Konemann I-INTRODUCTION GENERALE 1- DE LA RENAISSANCE ; DE L’ ANTIQUITE ET DE LA NATURE 2- DES LANGAGES II- DES MATHEMATIQUES. 1- le dessin ; plan concret 2-le dessin, plan abstrait 21- l’ abstraction simple 22- l’ abstraction sur l’ abstraction III- DES MATHEMATIQUES SELON LEONARD DE VINCI 1-DESSINS 11- le plan concret simple DU POINT AUX TOURBILLONS 12- le plan concret plus sophistique ADDITION & MULTIPLICATION SPIRALE LOGARITHMIQUE 12-le plan abstrait 121- l’ abstraction simple DENOMBREMENTS 122- l’ abstraction sur l’ abstraction MULTIPLICATION SIMULTANEE A L’ ADDITION ( SOMME PONDEREE) 2- PEINTURES 21- l’ abstraction simple ADDITION MULTIPLICATION ET PUISSANCES FRACTION SUITE DE SEGMENTS ET SURFACES HISTOGRAMMES TANGENCE DES CERCLES TRIANGLE RECTANGLE INSCRIT DANS UN CERCLE THEOREME DE PYTHAGORE SINUSOIDES : ENTRELACS ET DOUBLE HELICE INTEGRALES COURBE EXPONENTIELLE 22- l’ abstraction sur l’ abstraction OUVERTS ET FERMES THEORIE DES JEUX ESPACES HYPERBOLIQUES

CONTENU Qu’il ne me lise pas celui qui n’ est pas mathematicien, car je le suis dans tous mes principes. Leonard De Vinci. I-INTRODUCTION GENERALE Sur la renaissance, identifier les influences probables de Leonard de VINCI (1452-1519) sur l’ Art de Michel-Ange BUONNARRUOTI (1475-1564) et de Raphael SANTI d’ Urbin ( 1483-1520) serait passionnant... L’ aspect mathematique reste propre à l’ oeuvre de Leonard, comme il l’ enonce. Ce qu’il est ici propose, humblement, d’ illustrer en toute simplicité. Qu’il soit permis de rendre grâce à leurs mécènes et commanditaires qui eurent le genie d’ encourager l’ expression des magnificences et splendeurs des intellects interdisciplinaires de tels artistes humanistes. 1- DE LA RENAISSANCE ; DE L’ ANTIQUITE ET DE LA NATURE Dès 1300, l’ antiquité est ré-étudiée sous des angles variés et à partir de sources multiples, des tablettes, papyrus et manuscrits à l’ imprimerie de Gutenberg. Schematiquement, retraçons un parcours possible des savoirs auxquels Leonard de Vinci a pu accéder. Selon le biographe des peintres de la Renaissance : VASARI, sa curiosité intellectuelle etait, insatiable et si brillante que rapidement, il devançait ses professeurs par des questions toujours plus subtiles et complexes. Comment les “ interrelations “ entre l’ art et les maths sont elles nées dans son cerveau... Soumettons ici quelques pistes... Le point de depart rest l’ Observation et le Respect de la Nature. Cette donnée est presente des les premires ecrits du monotheisme sapiental et transmis notamment par les ecrits intertestamentaires. L’ on y decouvre le patriarche HENOCH, grand père de NOE, occupé à noter les variations des astres et leurs orbites dans la voute celeste. Par exemple dans l’ esprit de l’ Egypte antique ( le pays de Khemi), dont le langage est “ dessin “ & “ son “ ; Mâat designe la vision & mesure de toute chose, l’ equilibre de la Nature. Sur l’ héritage de l’ arithmétique élaborée par les pays de Sumer et d’ Akkad, se développe une géométrie de convergence qui resulte en la construction des pyramides et des symetries, chefs d’oeuvre de noblesse de la Nature. Par exemple, les deux cotyledons du haricot ; et dans son metabolisme meme, toute plante produit de l’ oxygene le jour et du CO2 la nuit... Dans l’ antiquité grecque, sur l’ heritage des pyramides, se développe la pensee de pythagore, des nombres et des géometries de parallèles ; ainsi qu’une certaine idée de “ la combinatoire “ puisque la perfection des statues resulte de la coordination d’ elements “ parfaits “ venant de plusieurs modèles. par exemple, la colonne cannelée grecque des temples n’ est autre que la “ geantisation “ de la tige du blé ! Et l’ étoile à six branches de certaines eglises ressemble à la dentelle raffinée des flocons de neige dont il existe aussi environ 6 types différents... 1 Sur ces heritages revisites, la renaissance developpera la geometrie spherique puis hyperbolique et l’ esprit probabiliste. Citons encore cette image extraordinaire des colonnes de la cathedrale Saint Pierre de Rome qui evoquent la torsade du champ magnetique et de l’ onde electrique qui font que la lumière soit, et dont la vitesse, comme le verifia Monsieur le professeur Albert EINSTEIN, est constante ! Mais ces colonnes sont aussi une copie de la dent du narval... 2- DES LANGAGES La Nature est intelligere, langage, elevation. Elle est à la fois point de depart et expression de toute representation mentale, puisque l’ etre humain vit dans un monde de formes pre-existantes et qu’il s’ agit de découvrir et theoriser. Mais il est plusieurs types de langages. Dans notre langage, “ ecrire un point “ , equivaut à le voir, sans nécessité de le dessiner. Lorsque le point final termine une phrase, sa présence fournit un message, sans nécessité d’ etre vocalise. Une “ transmission LOGIQUE “ , un fil de pensée juste elabore des “ passerelles “ . Cette manière de “ comprendre les hypothèses, les faits “ est vraie aussi en mathematiques. Alors, les mathematiques sont considérées comme langage et “ metalangage : c’est à dire une langue qui prend pour objet une autre langue et la formalise “. En l’ occurence, le langage de la Nature. ( noble creation de D’ieu selon Monsieur le Professeur Werner HEISENBERG, prix Nobel de physique ). En ce sens, l’ Art aussi est un metalangage. La plupart des hypothèses de la logique remontent à la renaissance et re-naquirent avec le XIX et le XXème siècle grace aux linguistes et mathematiciens logiciens qui ont formalisés d’ autres “ langages “ notamment symboliques ainsi que des relations transversales afin notamment d’ elaborer l’ epistemologie des interdisciplinarités. D’ où l’ evidence aujourdhui des similtudes entre la Nature et les Langages. Les mathematiques et le dessin en sont des axes fondamentaux. On propose de montrer des elements de fonctionnement mathematiques simples puis de les transposer dans le dessin de Leonard de VINCI et d’ en ouvrir certains aspects “ hermetiques “. D’ où, la comprehension de la longue maturation nécessaire à sa refléxion afin de produire les chefs d’oeuvre que son esprit engendrait. Aucun autre Artiste n’ a realise une telle elaboration de cascades d’ abstractions par la figuration ou de figuration par l’ abstraction et d’ expression par les “ figures de la rhetorique “ et du langage courtois. 2 II- DES MATHEMATIQUES. 1- le dessin ; plan concret Au premier niveau, il se constitue d’ ensemble de points, de lignes, de courbes, des surfaces, des volumes... A un niveau plus sophistiqué, lignes, surfaces et volumes peuvent créer des illusions d’optique ; des raccourcis visuels ; voire evoquer le mouvement... donc, d’ autres objets mathematiques... Ce sont des objets mathematiques entre lesquels peuvent s’ etablir des relations. par exemple, une suite de points constitue un objet geometrique, et peut correspondre à une fonction algebrique. Cette fonction peut etre etudieé geometriquement et graphiquement ; mais aussi seulement algebriquement et donc simplement par représentation mentale. 2-le dessin, plan abstrait 21- l’ abstraction simple les “ relations “ elaborées peuvent etre, elles aussi mises en relations et créer d’autres “ images “ , voire des “ structures “ . Ce sont le “ point de depart des représentations mentales “. Celles ci reposent sur un ensemble de connaissances et de conventions. Par exemple ; en algèbre, dans le cas où sont elidées les parenthèses, on procède aux operations dans un ordre bien precis. 22- l’ abstraction sur l’ abstraction ce qui se conçoit bien s’ enonce clairement selon Michel de Montaigne, alors, laissons la parole auProfesseur Albert Einstein qui énonce la possibilité de créer l’ abstraction sur l’ abstraction afin de revenir au concret avec des solutions novatrices... Or, c’est tout le jeu des calculs probabilistes et statistiques par exemple. 3 III- DES MATHEMATIQUES SELON LEONARD DE VINCI 1-DESSINS 11- le plan concret simple DU POINT AUX TOURBILLONS le dessin “ catastrophe naturelle “ 1517-18 (page 108) presente les mouvements de projection
 d’un point ( une goutte d’ eau) qui permet de créer une ligne.
 de quatre points, sommets d’un carré qui se forment triangles puis cubes.
 d’ autres points forment des lignes qui s’ enroulent en courbes, entrelacs, torsades, tourbillons... 12- le plan concret plus sophistique ADDITION & MULTIPLICATION le signe de ces operations se constitue de deux segments croises. Il se retrouve très frequemment fonderie pour canons geants 1487 page 60 automobile 1478 page 110 SPIRALE LOGARITHMIQUE elle est evoquée par son commencement : le calcul de l’ angle au centre qui donne le “ nombre d’or “ ( etude pour la cène 1494) page 78 4 12-le plan abstrait 121- l’ abstraction simple DENOMBREMENT têtes grotesques vers 1490-94 pages 66 67 Il s’ agit d’un raisonnement par analogie. par exemple l’ objet “ nez “. On compte des objets “ identiques “ mais dont les qualités sont différentes ( comme les boules rouges ou blanches des urnes on a ici l’ inventaire des nez : camus, aquilin etc...). Le dénombrement est le commencement du raisonnement probabiliste ( notamment etudie au XIIème siècle par Levi Ben Gershon) dans lequel Leonard ira très loin et qu’il figurera de manière “ allegorique “... 122- l’ abstraction sur l’ abstraction MULTIPLICATION SIMULTANEE A L’ ADDITION ( SOMME PONDEREE) Au risque de décevoir les amateurs “ d’ esotérismes “ ; le célèbre cercle avec un etre humain représenté dans deux positions simultanées a pour signification la possibilité, dans l’intellect, de procéder simultanément a deux operations : l’ addition et la multiplication. Cette faculte très typique du cerveau de l’ etre humain a été très souvent représentée par Leonard... ( on le retrouve dans La Gioconda ) Ainsi on peut additionner des cerises mais pas des cerises et des groseille.... sauf à les considérer comme des fruits... ensuite, si l’on veut savoir ce que represente un verger de trente cerisiers (portant chacun 100 cerises ) et de vingt groseilliers ( portant chacun 120 grappes de 10 groseilles) on additionne et multiplie en meme temps... Dans le meme ordre d’idees, l’ Etoile de Behtleem vers 1505-07 réfère aussi à des operations différentes. En effet, l’ etoile à 6 branches qui est ici une fleur s’ avère l’une des figures geometriques les plus étonnantes du monde. D’ une part, on la décompose soit en :
 deux triangles ;
 six chiffres UN entrelacés ( suivant l’ Histoire de la naissance des chiffres indiens d’ après l’ observation des étoiles ; de leurs geometrie et des nombres d’ angles que ces figures présentent. Alors, le chiffre 1 represente 1 angle, le chiffre Z (deux écrit à l’ antique ) deux angles etc... Le zero étant l’ absence d’ angle. D’ autre part, si l’on anime cette etoile d’un mouvement tournant comme l’indique la base de la plante, on obtient deux cercles concentriques, correspondants aux trajectoires des points intérieurs et extérieurs des triangles. Notons au passage que ces deux cercles concentriques sont un element du hieroglyphe de la lumière. Bien plus tard, l’ etude des points intérieurs/ extérieurs de figures geometriques donneront lieu à des algorithmes : le simplexe ou de Dantzig vers 1947 puis celui de Narmarkar -Bell Labs vers 1983... 5 2- PEINTURES 21- l’ abstraction simple ADDITION le signe + se trouve répété dans de nombreuses peintures, le baptême du Christ, vers 1475 page 20 ; la vierge aux rochers page 53 ; la vierge aux fuseau après 1510 page 84. De quoi s’ agit il ? Comme l’ enoncent les logiciens contemporains, comme Turing : c’est une image simple de l’infini. L’infini, en effet n’ est possible, envisageable et ne resulte que de la possibilité d’operations sur les chiffres...Dont notamment (+1) c’est à dire la suite des entiers positifs... Dans la vierge aux rochers, on retrouve, dans l’ enfant à gauche, la simultanéité de l’ addition et de la multiplication par la houlette et sa position dans le bras MULTIPLICATION ET PUISSANCES se trouve implicitement dans la Madone Benoist 1478 page 37 l’ enfant est visiblement concentré sur les fleurs qu’ énoncent elles ?
 2 X 4 ... ou
 (4 2 ) donc, “ l’ elevation de l’ entier à la puissance n “ et donc l’ infinitude des suites... N’ est il pas amusant de voir le medaillon de cette madone comme un “ roulement à billes “ ...Et les aureoles de certains saints comme une vision amusante de “ la multiplication des pains “ ... FRACTION est en evidence dans l’ Annonciation 1470 sur le socle du lutrin où l’operation est constituée d’une coquille Saint Jacques au numerateur et de deux fleurs ( entre parenthèses comme X / Y 2 ) au denominateur . SUITE DE SEGMENTS ET SURFACES sont illustrés notamment par La belle ferronière, 1490 page 70 d’ abord par son collier où alternent les segments noirs et blancs. l’ extrapolation des couleurs deviennent surfaces ( peau/ clair) ( cheveux/ noir) On peut deja se demander ; comme dans une lecture “ topologique “ de La Gioconda : n’y a pas ; deja ; reflexion “ binaire “ chez Leonard Noir/Blanc comme 0/1.... HISTOGRAMME dans l’ annonciation 1470, page 30. on le trouve dans les angles du batiment : les pierres blanches constituant les colonnes du graphique... 6 TANGENCE DES CERCLES dans la vierge aux rochers 1495 page 53, se trouve citée partout et notamment si l’on deplace en translation les auréoles des deux enfants vers celle de la Madone, les trois cercles sont tangents (comme un satellite et ses deux capteurs solaires ou un double “ engrenage “ magnetique) TRIANGLE RECTANGLE INSCRIT DANS UN CERCLE dans la Madone Benoist 1478 page 37 Ce triangle se trouve dans l’ aureole de l’ enfant et le rebord inférieur de la fenetre derrière THEOREME DE PYTHAGORE se trouve expliqué par la Madone aux rochers version 1483 page 52 le manteau et la main gauche de la madone évoquent déja un triangle rectangle. Ensuite, la position de la main du personnage à droite figure un triangle rectangle, tandis qu’ en echo, le bambin dessous presente un geste avec deux doigts levés ce qui évoque ce théorème : dans un triangle rectangle, le carré de l’ hypothènuse = la somme des carrés des cotés adjacents à l’ angle droit. En corollaire ; notons aussi que l’ angle de la main mesure 90°. C’est aussi la dimension de l’ arc solaire de l’ equinoxe au solstice. c’st à dire l’ angle qui separe le trait de l’ apparition de l ‘astre au lever dans la periode considérée et dans les pays du Nord... Au Sud, cet angle n’ est que de 70°. On peut aussi rapprocher les angles des mains de Leonardo à ceux de Wiesner, angles parfaits que l’on trouve dans la nature... SINUSOIDES : ENTRELACS ET DOUBLE HELICE La forme “ serpentine du corps “ est une pose très appréciés par les peintres de l’ époque de Michel Ange et Raphael. Cette forme chez Leonard se trouve chez Leda 1508... Elle se range dans les formes torsadées, trigonométriques, que l’on trouve dans la voute des armes Sforza 1498 page 129 et, dans l’ entrelacs de branches de Pomone et Vertumne 1492 page 124 7 INTEGRALE le calcul à l’ aide de formules d’integrales sert à anticiper une mesure d’ aire en la transformant en suite d’ additions de petites aires qui divisent la totalité de l’ aire. Ceci permet de mesurer le taux de l’ accélération d’une variation. Les premisses de telles courbes se trouvent dans le contraste entre les formes bistres et noires de l’ arirère plan de la vierge aux rochers 1483 page 54. Le symbole du calcul de l’ integrale est dissimulé dans les échancrures des chemises de Pomone 1492 page 124 et Flore 1515 page 122 COURBE EXPONENTIELLE on peut en trouver les prémisses dans les végetaux derrière le portrait de Ginevra Benci 1475 page 36 où un vegetal donne lieu à un floraison exponentielle de feuilles et dans le Saint Jean Baptiste 1510 page 119 dont le geste vers le haut peut évoquer une courbe exponentielle : de croissance ultra rapide ; ce qu’indique la “ derivée “ de la courbe, encore appellée DELTA de la forme d’un triangle comme la coiffure de SJB... 22- l’ abstraction sur l’ abstraction LOGIQUE DE LA REGLE DU CHANGEMENT DE SIGNE DANS LE CALCUL DE LA DIFFERENCE DES RELATIFS dans l’ annonciation 1470, page 30. Si l’on considére les formes “ claires “ on voit écrit = ( derrière l’ ange ) X ( la manche de l’ ange ) = devant l’ ange II le mur vertical derrière la vierge. Ce qui peut se lire en toutes lettres moins multiplié par moins fait + sachant que la façon de l’ écrire est simplement de la “ logique pure “ dans la mesure ou le signe ( I I ) vertical prend la fonction (+) donc l’ inverse du signe (= ) qui lui meme signifie le (-) 8 OUVERTS ET FERMES se trouve sans doute le plus dans La Gioconda 1510 page 116 D’ abord, on trouve une evocation du plan euclidien derrière Mona Lisa et à une certaine distance, on voit comme une sphère qui rappelle certains dessins d’ astrophysiques de la relativite. Toute la peinture semble se fonder sur le “ programme de recherche de la moyenne pondéreé “... Les manches du vetements forment des SIGMA symbole de ce calcul. L’ idee de l’ addition est évoquée par l’ empilement des pages du livre ( invisible) sous les mains de Mona Lisa. Tandis que ces mains sont croisées comme le signe de la multiplication. Le visage forme une moyenne entre les dimensions
 d’un visage masculin et d’un visage féminin
 du haut du visage et du bas du visage (pondérés pour obtenir la proportion dorée)
 de la couleur de la vie et de l’ouverture ( le clair ) par rapport à la couleur du deuil et de la fermeture ( le sombre). Le sourire de Mona Lisa resulte lui même d’une moyenne entre joie et deuil... Ce chef d’ oeuvre évoque les idées et principes de la topologie mathematique de l’ouvert et du fermé ; des moyennes et des calculs de base 2 (0,1)... et une variation sur certaines lettres grecques : KHI, Sigma... On peut même deceler un jeu littéraire sur le nom de GiocaOnda... Certains decelant des sources d’ eaux vives à l’ arrière plan... THEORIE DES JEUX Née de la pensee probabiliste, on les retrouve dans la bataille d’ Anghiari 1503 page 91 mais surtout dans la tragedie de la Cène ( Immolation de l’ agnus dei)1494 page 73. Christus forme un Delta dont le sommet indique dans la baie derrière lui la proportion dorée.... De part et d’autre les disciples se parlent . Chaque groupe fait penser aux senats, aux grandes assemblées et à tous les jeux diplomatiques qui vont conduire à tel ou tel évènement en fonction des “ strategies “ individuelles et des dynamiques de groupes. Cette theorie ne sera formulée par Condorcet que vers 1792. ESPACES HYPERBOLIQUES comme les courbes exponentielles definissent des espaces vastes, on peut rêver aux espaces hyperboliques de Poincaré en admirant les voutes de la sala delle Asse de Milan, Castello Sforzesco, 1498 page 128... Terminer en s’ ouvrant à d’ autres enigmes de l’Histoire de l’ Art et des sciences , comme la forme de la queue d’ aronde, mysterieuse symetrie du logarithme et de l’ exponentiation incarnées par le GRAAL ou encore des forces de l’ hydraulique relatives à la pesanteur et aux longueurs d’ondes... 9